Vedrørende Anti-introduktionisme Nr. 8.

ISBN: 9788740978605

Anti-introduktionisme Nr. 8. ”Achilleus og skildpadden”.

Zenons dikotomiparadokser.

Udgave 1.

Trykkeår: 2019.

Forlag: Saxo Publish.Skrifttyper: Tahoma og Calibri.

Omslag: Ove Møbjerg Kristensen.

Indledning.

Denne afhandling behandler Zenons såkaldte paradokser om bevægelse. Der refereres til de engelske versioner af Aristoteles’ gengivelser af disse i antologien The Presocratic Philosophers. Desuden diskuteres nogle af Aristoteles og M. Schofields overvejelser, som også er gengivet i denne antologi. ([Kirk 83], p. 269-274)

For at yde Zenons paradokser retfærdighed citeres først de oprindelige tekster (i engelsk oversættelse), eftersom det er den populariserede og misvisende fremstilling ”Achilleus og skildpadden”, der hyppigst diskuteres, oven i købet som om denne version er den eneste og originale version.

De diskuterede tekster.

Paradokset om Achilleus og skildpadden er det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’” (239b14) ([Kirk 70], p. 272):

“In a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 70], p. 272)

I herværende afhandling anvendes flere gange betegnelsen ”Zenons dikotomiberetning”. Denne beretning indgår som en del af dikotomiparadokset:

“The first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal...” (239b11) ([Kirk 70], p. 270, min kantede parentes.)

Zenons dikotomiberetning er simpelthen det sidste udsagn:

“… that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal…” (Ibid.)

Resumé.

Den resterende del af denne afhandling består af to hovedafsnit:

1) I det første af disse afsnit, ”Zenons paradokser om løbere”, fremføres en række umiddelbare overvejelser over disse paradokser. Desuden gendrives et par typiske kritikker, og yderligere analyser fremføres.

I de populariserede udgaver af den tekst, Aristoteles kalder ”the so-called Achilles”, omtales den hurtigste løber som ”Achilleus” og den langsomste som ”skildpadden”. Nogle filosoffer og matematikere fremfører, at Achilleus indhenter skildpadden, fordi længden af den samlede strækning, Achilleus behøver at løbe for at indhente den, kan beskrives som grænseværdien af en opsummering af længderne af de passerede delstrækninger. Men definitionen af begrebet grænseværdi afspejler tværtimod selv, hvordan en funktionsværdi kan komme vilkårligt tæt på en bestemt værdi uden at nå den. Dette uddybes i underafsnittet ”matematisk grænseværdi”.

Da disse beretninger klart er rekursive, men uden stop, fremføres formelle rekursive beskrivelser af dem. Disse beskrivelser suppleres med eksempler. Det viser sig netop, at en hjælp til afklaringen af disse paradokser findes i denne rekursive måde, hvorpå de er fortalt, idet beretningen om hver passage af en delstrækning slutter på samme måde, som er uden stop. Det er dermed beretningen, der ikke stopper, ikke nødvendigvis løbet.

Beretningen ”Achilleus” viser endvidere, at det er muligt at komme vilkårligt tæt på nuet uden at nå det, men at vi ikke kan forklare det sidste spring ind i nuet. I nuet er vi i nuet, men hvordan kom vi dertil? Beretningen belyses med en højrerekursiv beskrivelse.^[1]

Der ses på Zenons dikotomiparadoks, der har såvel en højrerekursiv som en venstrerekursiv fortolkning. Begge belyses med rekursive beskrivelser.

Nogle af Aristoteles’ og M. Schofields’ overvejelser gennemgås. Af Aristoteles’ konklusioner følger det, at paradokset gælder på samme måde for tidsforløb som for passage af strækninger.

2) I det andet afsnit ”Udledningen af Zenons budskab” fremlægges en uddybende fortolkning af Zenons beretninger. Ifølge denne fortolkning udgør disse beretninger ikke paradokser, men et filosofisk budskab. Denne fortolkning tager direkte udgangspunkt i, hvordan beretningerne er fortalt. ^[2]

Herved belyses det, hvordan det højrerekursive dikotomiparadoks kan forstås både som en beskrivelse, der er tilbageskuende, men rettet imod nuet, og fremadskuende fra nuet og rettet imod et givet fremtidigt tidspunkt.

Desuden forklares det, hvordan Zenon udfordrer ideen om at tage common sense som udgangspunkt for vor forståelse af, hvad tid er. Endnu en vigtig pointe er, at man generelt skal tage stilling til den vanskeligst gendrivelige version af det udsagn, man ønsker at granske eller kritisere. I sidste ende må Zenons beretning derfor forstås som en abstrakt fiktion – dvs. på sine egne betingelser og dermed frigjort fra referencer til fysiske og teoretiske entiteter - endog som en litterær fiktion.

Det forklares således, hvordan Zenons paradokser tydeliggør, at der er en dualisme mellem fortiden og nuet, og mellem nuet og fremtiden.

I appendikset ”Rekursivitet med stop” vises et eksempel på en højrerekursiv beskrivelse med stop, idet eksemplets terminologi forklares.

I det sidste appendiks ”Achilleus og viljen til tænkning” udredes paradokset ”Achilleus” og dets filosofiske budskab i al sin enkelthed, og tilknyttede problemer kommenteres. Desuden gendrives en matematikers afvisning af paradokset.

---

^[1]  Disse begreber uddybes i appendikset ”Rekursivitet med stop”.

^[2] Jeg skylder her at bemærke, at denne fortolkning blandt andet er baseret på mine egne overvejelser i forbindelse med min læsning af Wesley C. Salmons antologi Zeno’s Paradoxes ([Salmon 70]). Selv om disse hovedsageligt resulterede i påpegningen af disse bidrags misvisende digressioner og øvrige fejl, har selve arbejdet med denne kritik resulteret i flere overvejelser om Zenons løberparadokser ud over dem, der allerede er fremført i første del.

Denne antologi har derimod ikke i sig selv bidraget med noget til mine her præsenterede resultater.

- - -

Indholdsfortegnelse.

Indledning.

De diskuterede tekster.

Resumé.

1. Zenons paradokser om løbere.

1.1. Achilleus og skildpadden.

1.1.1 En matematisk fortolkning af paradokset.

1.1.1.1 En rekursiv beskrivelse af væddeløbet.

1.1.2 Matematiske løsningsforslag.

1.1.2.1 Summation af uendeligt mange værdier.

1.1.2.2 Matematisk grænseværdi.

1.1.3 En ufærdig beretning.

1.1.4 Naturvidenskabelige indvendinger.

1.2 Zenons dikotomiparadoks.

1.2.1 Det højrerekursive dikotomiparadoks.

1.2.2 Det venstrerekursive dikotomiparadoks.

1.2.3 Aristoteles’ og M. Schofields overvejelser.

1.2.3.1 Aristoteles’ konklusion.

1.3. Resumerende betragtninger.

2. Udledningen af Zenons budskab.

2.1 Zenons udfordringer.

2.2. Zenons opponenter.

2.2.1 Common sense.

2.2.1.1 En common sense relateret forklaring.

2.2.2 Fundamentale argumentationsfejl.

2.3. På vej mod Zenons budskab.

2.3.1 Konklusioner om Zenons beretninger.

2.3.2 Zenons budskab.

2.3.4 Dualisme.

2.4. Afslutning.

Appendikser.

A1. Rekursivitet med stop - et afsluttet løb.

A2. Achilleus og viljen til tænkning.

A2.1 De begåede fejl.

A2.2 Kritik af common sense.

A.2.2.1 En matematisk misforståelse.

A.2.2.2 Perspektivrig kritik.

A.2.3 Kritik af et matematisk argument.

A2.4 Betydningen af Zenons paradokser med løbere.

Litteratur.

- -

Litteratur.

[Cambridge]                   http://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/common-sense.

[Camus 78]                    Albert Camus: L’etranger
Gallimard (France 2002).

[Dummett 78]               Michael Dummett: Truth and Other Enigmas
Duckworth (London 1978).

[Famøs 2003]                mwm: Når Humanister laver matematik.
”Fagblad for Aktuar, Matematik, - Økonomi og statistik”,
17. årgang nr. 1. Oktober 2003.

[Fraassen 80]                 Bas C. van Fraassen: The Scientific Image
Oxford University Press (Oxford 1980)

[Kirk 83]                          G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)

[Salmon 70]                   Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)

[Witt 07]                         Witt-Hansen: Achilleus og skildpadden: http://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/0703/0703_20.pdf