ISBN: 9788740978605
Anti-introduktionisme Nr. 8. ”Achilleus og skildpadden”.
Zenons dikotomiparadokser.
Udgave 1.
Trykkeår: 2019.
Forlag: Saxo Publish.Skrifttyper: Tahoma
og Calibri.
Omslag: Ove Møbjerg
Kristensen.
Indledning.
Denne afhandling behandler
Zenons såkaldte paradokser om bevægelse. Der refereres til de engelske
versioner af Aristoteles’ gengivelser af disse i antologien The Presocratic Philosophers. Desuden
diskuteres nogle af Aristoteles og M. Schofields overvejelser, som også er
gengivet i denne antologi. ([Kirk 83], p. 269-274)
For at yde Zenons paradokser retfærdighed citeres
først de oprindelige tekster (i engelsk oversættelse), eftersom det er den
populariserede og misvisende fremstilling ”Achilleus og skildpadden”, der
hyppigst diskuteres, oven i købet som om denne version er den eneste og
originale version.
De diskuterede tekster.
Paradokset om Achilleus og skildpadden er det paradoks, som
Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’” (239b14)
([Kirk 70], p. 272):
“In
a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer
must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must
always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 70], p. 272)
I herværende afhandling anvendes flere gange
betegnelsen ”Zenons dikotomiberetning”. Denne beretning indgår som en del af dikotomiparadokset:
“The
first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that which is in locomotion must arrive at the
half-way stage before it arrives at the goal...” (239b11)
([Kirk 70], p. 270, min kantede parentes.)
Zenons dikotomiberetning er simpelthen
det sidste udsagn:
“…
that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives
at the goal…” (Ibid.)
Resumé.
Den resterende del af denne afhandling består af to hovedafsnit:
1) I det første
af disse afsnit, ”Zenons paradokser om løbere”, fremføres en række umiddelbare
overvejelser over disse paradokser. Desuden gendrives et par typiske kritikker,
og yderligere analyser fremføres.
I de populariserede udgaver af den tekst,
Aristoteles kalder ”the so-called Achilles”, omtales den hurtigste løber som
”Achilleus” og den langsomste som ”skildpadden”. Nogle filosoffer og
matematikere fremfører, at Achilleus indhenter skildpadden, fordi længden af
den samlede strækning, Achilleus behøver at løbe for at indhente den, kan
beskrives som grænseværdien af en opsummering
af længderne af de passerede delstrækninger. Men definitionen af begrebet
grænseværdi afspejler tværtimod selv, hvordan en funktionsværdi kan komme
vilkårligt tæt på en bestemt værdi uden at nå den. Dette uddybes i
underafsnittet ”matematisk grænseværdi”.
Da disse beretninger klart er rekursive, men uden
stop, fremføres formelle rekursive beskrivelser af dem. Disse beskrivelser
suppleres med eksempler. Det viser sig netop, at en hjælp til afklaringen af
disse paradokser findes i denne rekursive måde, hvorpå de er fortalt, idet
beretningen om hver passage af en delstrækning slutter på samme måde, som er
uden stop. Det er dermed beretningen, der ikke stopper, ikke nødvendigvis
løbet.
Beretningen ”Achilleus” viser endvidere, at det er
muligt at komme vilkårligt tæt på nuet uden at nå det, men at vi ikke kan
forklare det sidste spring ind i nuet. I nuet er vi i nuet, men hvordan kom vi dertil? Beretningen belyses med en
højrerekursiv beskrivelse.[1]
Der ses på Zenons dikotomiparadoks, der har såvel en
højrerekursiv som en venstrerekursiv fortolkning. Begge belyses med rekursive
beskrivelser.
Nogle af Aristoteles’ og M. Schofields’ overvejelser
gennemgås. Af Aristoteles’ konklusioner følger det, at paradokset gælder på
samme måde for tidsforløb som for passage af strækninger.
2) I det
andet afsnit ”Udledningen af Zenons budskab” fremlægges en uddybende
fortolkning af Zenons beretninger. Ifølge denne fortolkning udgør
disse beretninger ikke paradokser, men et filosofisk budskab. Denne fortolkning
tager direkte udgangspunkt i, hvordan beretningerne er fortalt.
[2]
Herved belyses det, hvordan det højrerekursive
dikotomiparadoks kan forstås både som en beskrivelse, der er tilbageskuende, men rettet imod nuet,
og fremadskuende fra nuet og rettet
imod et givet fremtidigt tidspunkt.
Desuden forklares det, hvordan Zenon udfordrer ideen
om at tage common sense som
udgangspunkt for vor forståelse af, hvad tid er. Endnu en vigtig pointe er, at
man generelt skal tage stilling til den vanskeligst gendrivelige version af det
udsagn, man ønsker at granske eller kritisere. I sidste ende må Zenons
beretning derfor forstås som en abstrakt fiktion – dvs. på sine egne
betingelser og dermed frigjort fra referencer til fysiske og teoretiske entiteter
- endog som en litterær fiktion.
Det forklares således, hvordan Zenons paradokser
tydeliggør, at der er en dualisme mellem fortiden og nuet, og mellem nuet og
fremtiden.
I appendikset ”Rekursivitet med stop” vises et
eksempel på en højrerekursiv beskrivelse med stop, idet eksemplets terminologi
forklares.
I det sidste appendiks ”Achilleus og viljen til
tænkning” udredes paradokset ”Achilleus” og dets filosofiske budskab i al sin enkelthed,
og tilknyttede problemer kommenteres. Desuden gendrives en matematikers afvisning
af paradokset.
[1] Disse begreber uddybes i appendikset
”Rekursivitet med stop”.
[2]
Jeg skylder her at bemærke, at denne fortolkning blandt andet er baseret
på mine egne overvejelser i forbindelse med min læsning af Wesley C. Salmons
antologi Zeno’s Paradoxes ([Salmon 70]). Selv om disse
hovedsageligt resulterede i påpegningen af disse bidrags misvisende
digressioner og øvrige fejl, har selve
arbejdet med denne kritik resulteret
i flere overvejelser om Zenons løberparadokser ud over dem, der allerede er
fremført i første del.
Denne antologi har derimod ikke i sig selv bidraget med noget til mine her præsenterede resultater.
Indholdsfortegnelse.
Indledning.
De diskuterede tekster.
Resumé.
1. Zenons paradokser om løbere.
1.1. Achilleus og skildpadden.
1.1.1 En matematisk fortolkning af paradokset.
1.1.1.1 En rekursiv beskrivelse af væddeløbet.
1.1.2 Matematiske løsningsforslag.
1.1.2.1 Summation af uendeligt mange værdier.
1.1.2.2 Matematisk grænseværdi.
1.1.3 En ufærdig beretning.
1.1.4 Naturvidenskabelige indvendinger.
1.2 Zenons dikotomiparadoks.
1.2.1 Det højrerekursive dikotomiparadoks.
1.2.2 Det venstrerekursive dikotomiparadoks.
1.2.3 Aristoteles’ og M. Schofields overvejelser.
1.2.3.1 Aristoteles’ konklusion.
1.3. Resumerende betragtninger.
2. Udledningen af Zenons budskab.
2.1 Zenons udfordringer.
2.2. Zenons opponenter.
2.2.1 Common sense.
2.2.1.1 En common sense relateret forklaring.
2.2.2 Fundamentale argumentationsfejl.
2.3. På vej mod Zenons budskab.
2.3.1 Konklusioner om Zenons beretninger.
2.3.2 Zenons budskab.
2.3.4 Dualisme.
2.4. Afslutning.
Appendikser.
A1. Rekursivitet med stop - et afsluttet løb.
A2. Achilleus og viljen til tænkning.
A2.1 De begåede fejl.
A2.2 Kritik af common sense.
A.2.2.1 En matematisk misforståelse.
A.2.2.2 Perspektivrig kritik.
A.2.3 Kritik af et matematisk argument.
A2.4 Betydningen af Zenons paradokser med løbere.
Litteratur.
- -
Litteratur.
Litteratur.
[Camus 78] Albert Camus: L’etranger
Gallimard (France 2002).
Gallimard (France 2002).
[Dummett
78] Michael Dummett: Truth and
Other Enigmas
Duckworth (London 1978).
Duckworth (London 1978).
[Famøs 2003] mwm: Når Humanister laver matematik.
”Fagblad for Aktuar, Matematik, - Økonomi og statistik”,
17. årgang nr. 1. Oktober 2003.
”Fagblad for Aktuar, Matematik, - Økonomi og statistik”,
17. årgang nr. 1. Oktober 2003.
[Fraassen
80] Bas C. van Fraassen: The
Scientific Image
Oxford University Press (Oxford 1980)
Oxford University Press (Oxford 1980)
[Kirk
83] G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)
(Cambridge 1983)
[Salmon 70] Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)
[Witt 07] Witt-Hansen: Achilleus og skildpadden: http://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/0703/0703_20.pdf




